Kurva paling sederhana adalah sebuah garis lurus. Sebuah garis ditentukan oleh sebuah titik tetap Pο dan vektor arah (directional vector) v =ai + bj + ck. Semua titik P yang mana dapt dibentuk vektor dari Pο ke P yang arahnya sejajar dengan v, dapat dituliskan sebagai
Jika
Sebagai vektor posisi dari P dan Pο, maka
Jika ditulis
Maka akan didapatkan persamaan parametrik yang melalui titik Pο (xο, yο, zο) dan sejajar dengan vektor v 〈 a, b, c 〉 adalah
Contoh 1
Tentukan persamaan parametrik garis yang melalui titik (3, -2, 4) dan titik (5, 6, -2).
Jawab :
Untuk membentuk persamaan paramatrk diperlukan sebuah titik dan vektor yang paralel. Sedangkan pada contoh soal di atas tidak terdapat vektornya. Dengan menggunakan dua titik yang disediakan, maka dibentuk terlebih dahulu vektor yang paralel dengan garisnya
Titik (3, -2, 4) dipilih sebagai (xο, yο, zο), maka persamaan parametriknya
Saat t=0 menentukan titik (3, -2, 4) dan saat t=1 menentukan titik (5, 6, -2).
Jika persamaan parametrik dipecahkan variabel t nya dengan a, b, c bukan nol, maka diperolehlah persamaan simetri dari garis tersebut
Dua persamaa yang dibentuk dari persamaan simetri di atas adalah persamaan bidang. Yang perpotongannya adalah garis dengan persamaan parametrik yang bersesuaian dengannya (garis warna merah)
Contoh 2 :
Buatlah persamaan simetri dari garis yang sejajar dengan vektor 〈 4, –3, 2 〉 dan melalui titik (2, 5, -1)
Jawab :
Contoh 3 :
Carilah persamaan simetri dari perpotongan bidang-bidang ini
Jawab :
Sebelumnya harus dicari minimal 2 titik yang dilalui garis yang merupakan perpotongan dari bidang-bidang di atas. Untuk mempermudah asumsikan garis tersebut menembus bidang x=0 dan bidang y=0.
sehingga dengan meng-0-kan baik x maupun y-nya persamaan menjadi lebih sederhana karena hanya terdiri dari 2 variabel bebas, dan bisa dipecahkan dengan cara eliminasi.
Ketika x=0
Pemecahan dua persamaan ini secara simultan menghasilkan titik y=4 dan z=2, sehingga garis menembus bidang x=0 di titik (0, 4, 2). Dengan cara yang sama dapat dicari titik tembus lainnya di bidang y=0, yaitu (3, 0, 4).
Dengan menggunakan dua titik ini, dapat dibentuk vektor yang paralel dengan garis yang dicari.
Dengan menggunakan titik titik (3, 0, 4) dipilih sebagai (xο, yο, zο), maka diperoleh persamaan simetrinya
Jawaban Alternatif :
Bidang-bidang yang berpotongan, masing-masing memiliki vektor normal. Yang hasil kali silang (cross product) dari kedua vektor normal kedua bidang tersebut akan menghasilkan sebuah vektor yang sejajar dengan garis perpotongan dua bidang ini.
Vektor hasil kali silang w = 〈 21, –28, 14 〉 kemudian disederhanakan menjadi (1/7)w = 〈 3, -4, 2 〉. Dengan menggunakan titik titik (3, 0, 4) dipilih sebagai (xο, yο, zο), maka diperoleh persamaan simetrinya.
Contoh 4 :
Tentukan persamaan paramatrik dari garis yang melalui titik (1, -2, 3) dan tegak lurus terhadap sumbu-x dan juga tegak lurus terhadap garis yang memiliki persamaan simetri ini
Jawab:
Vektor yang sejajar terhadap sumbu-x adalah 〈 1, 0, 0 〉 dan vektor yang sejajar dengan garis dengan persamaan simetri di atas adalah 〈 2, -1, 5 〉. Sehingga vektor yang dari garis yang melewati titik (1, -2, 3) sejajar dengan hasil kali silang dua vektor di atas
Diperoleh yaitu vektor 〈 0, -5, -1 〉 boleh juga ditulis 〈 0, 5, 1 〉. Sehingga persamaan parametriknya adalah
Garis Tangen pada Sebuah Kurva
Diketahui bahwa vektor posisi dari sebuah partikel yang melintasi kurva adalah
Maka garis tangen pada titik tersebut memiliki arah vektor
Contoh 5 :
Tentukan persamaan parametrik dan persamaan simetri untuk garis tangen pada kurva yang ditentukan oleh persamaan berikut
di titip P(2) = (2, 2, 8/3)
Jawab :
Sesungguhnya vektor arah dari garis tangen adalah vektor normal dari sebuah bidang yang tegak lurus terhadap kurva tersebut di titik P.
Contoh 6 :
Carilah persamaan bidang yang tegak lurus pada sebuah kurva dengan persamaan
Jawab :
Perhatikan hubungan persamaan kuva dan titil P. Yang termudah diperoleh hubungan t³=8, sehingga diperoleh bahwa titik P ditentukan saat t=2. Dan nilai t inilah yang nati akan digunakan untuk mencari vektor tangen. Persamaan vektor tangen diperoleh dengan menurunkan satu kali persamaan kurva, sehingga diperoleh :
Dengan menggunakan titik P (2, 0, 8) diperoleh persamaan bidang yang tegak lurus terhadap kurva tersebut adalah :
Soal Latihan : Kerjakan soal latihan sub bab 11.6 nomer 4, 8, 10. 13 dan 20.
Pertemuan Sebelumnya Pertemuan Selanjutnya
Jadwal Pertemuan
The post Pertemuan 13 : Garis dan Garis Tangen di Ruang-3 appeared first on the motorbike goes by skill or you get killed.